Cuarta investigacion:

2. 4. PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

¿Qué es igualdad?

En matamáticas, dos objetos matemáticos son considerados iguales si tienen precisamente el mismo valor. Esto define un predicado binario, igualdad, y si sólo si x y y son iguales.

http://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matemática


La Propiedad de la igualdad de la suma:

La Propiedad de la igualdad de la suma significa que como el signo de igualdad es similar a una balanza, lo que se sume a un lado del signo debe ser sumado al otro lado de la igualdad para mantener el balance o la igualdad.

La Propiedad de la igualdad de la multiplicacion:

La Propiedad de la igualdad de la multiplicación significa que como el signo de igualdad es similar una balanza, lo que se multiplique a un lado del signo debe ser multiplicado al otro lado de la igualdad para mantener el balance o la igualdad.

http://ponce.inter.edu/cremc/igualdadnew.htm

resumen:

La propiedad de la igualdad es similar a una balanza, lo que se le aumenta o disminuye a un termino se le debe aumentar o disminuir de igual manera en el segundo termino para poder mantener la igualdad.

Ejemplos:

De igualdad:

(8 + 5) - 12 = 13 - 12

13 - 12 = 13 - 12

1 = 1

De desigualdad:

8 + 8 - 2 = 5 + 2 + 6

14 = 13

2. 5. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

¿Que es ecuación?

Al resolver ecuaciones comúnmente acortamos el uso de la propiedad de la igualdad.Observe en los siguientes ejemplos que al mover de un lado al otro signo de igualdad, el signo cambia. ( En verdad, lo que pasa es que estamos sumando el opuesto a ambos lados de la ecuación.)

Resumen:

Particularmente para la resolucion de ecuaciones se tiene que aplicar la propiedad de la igualdad, al final la variable debe valer gual que el numero que sale.

Ejemplos:

3x - 6=270
3x=270 + 6
3x=276
x=276/3
x=92

4x + 7=27
4x=27 - 7
4x=20
x=20/4
x=5

http://ponce.inter.edu/cremc/resolucion.html

2. 6. TRADUCCIÓN DE EXPRESIONES

Frase	En símbolos
a. La suma de 2 y un número.	2 + d ( la "d" representa la cantidad desconocida)
b. 3 más que un número	x + 3
c. La diferencia entre un número y 5	a - 5
d. 4 menos que n	4 - n
e. Un número aumentado en 1	k + 1
f. Un número disminuido en 10	z - 10
g. El producto de dos números	a · b
h. Dos veces la suma de dos números	2 ( a + b)
i. Dos veces un número sumado a otro	2a + b
j. Cinco veces un número	5x
k. El cociente de dos números	a b

http://ponce.inter.edu/cremc/traduccion.htm

Resumen:

Son expresiones traducidas al lenguaje matematico.

Ejemplos:

3 mas que un numero: x + 3

4 por un numero: 4 . x

2. 7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para poder resolver un problema de ecuaciones se necesita saber los conceptos de una ecuacion, indicar lo que significa una variable en el problema mediante el uso de una ecuación.

ejemplo:

resolver:

1.5x+30=40

x=10/5

x=2

2.

1. Al dinero que tengo le sumo su doble y le resto 15€, si me quedan 9€ ¿ Cuánto dinero tenía?
A) 9€
B) 6€
C) 8€
D) 7€

2. He comprado 8 CD vírgenes y he pagado con un billete de 10€, me han devuelto 0'40€ ¿ Cuánto vale cada CD?
A) 1'20€
B) 0'80€
C) 1'40€
D) 0'90€

3. Los dos septimos de un número son 8 ¿ De que número se trata?
A) 32
B) 28
C) 27
D) 29

4. Juán tiene el doble de dinero que Pepe y entre los dos tienen 123€ ¿Cuánto dinero tiene Pepe?
A) 42€
B) 38€
C) 41€
D) 39€

5. La edad de Juán es el doble que la de Pepe y la edad de Pepe es el triple que la de Antonio, si entre todos ellos suman 30 años ¿ Cual es la edad de Antonio?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 5

6. Antonio ha gastado 3,20€ más que Lola. Si entre los dos han gastado 15€ ¿Cuánto gastó Lola?
A) 5'90€
B) 6'10€
C) 5'80€
D) 7'50€

7. Tengo el doble de monedas 0'20€ que de 0'50€ . Si en total tengo 2'70€ ¿ Cuántas monedas tengo de 0'20€ ?
A) 7
B) 5
C) 4
D) 6

8. Un número más su doble suman 210 ¿ Cual es ese número?
A) 60
B) 65
C) 80
D) 70

http://www.thatquiz.com/es/mc?XQAV7124

definciones como identdad

enunciado

igualdad

prepocicion

variable

enunciado aberto enuciado cerrado

ecuacion clasifcacipn elmentos metodos

Primera investigación

Introducción al algebra

¿Que es el algebra?

El Álgebra es la rama de la matemática que tiene por objeto de estudio la generalización del cálculo aritmético mediante expresiones compuestas de constantes (números) y variables (letras).

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra#Clasificaci.C3.B3n

1. Expresiones Algebraicas

Expresiones algebraicas son todas aquellas que tienen una parte numérica y una parte literal. Por ejemplo, la expresión 8a3b2c es una expresión algebraica, en este caso un monomio, el cual tiene como parte numérica al número 8 y como parte literal a3b2c. Nótese que los exponentes se consideran parte literal.

Profundizando un poco más en lo mencionado líneas arriba, existen básicamente dos tipos de expresiones algebraicas, y son:

a) Monomios: Es una sola expresión algebraica. Ejemplos de monomios son:

4x4y2 como se puede ver es una sola expresión con parte numérica y parte literal


8a3b2c en este caso la letra c no tiene exponente, cuando esto suceda se asume que dicho exponente es 1, así: 8a3b2c1


m2n3 en este caso aparentemente no hay una parte literal, cuando esto suceda nosotros sabremos que hay un 1, así: 1m2n3

b) Polinomios: Son dos o más expresiones algebraicas (con diferente parte literal) que se están sumando o restando. Ejemplos de polinomios son:

3x2y +5x3y2 Este es un polinomio de dos términos o binomio. Aunque las partes literales aparentemente son iguales, estas son diferentes, pues los exponentes no son iguales.

3x4 +xyz -2y2z Ahora tenemos un polinomio de tres términos o trinomioz

a3 -a2b +2ab2 -5b3 Otro ejemplo de polinomio.

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#expalgeb

resumen:
Las expresiones algebraicas son aquellas que tienen una parte literal y una parte numérica, tienen dos principales expreciones algebraicas que son:

Los monomios:Que tienen solo un término.

Los polinomios:Que tienen dos o mas términos, cuando son dos términos:binomios, cuando son tres:trinomio y cuando son cuatro:polinomio.

Ejemplos:

monomio:2ax⁴y³

polinomio: 3x⁴ + x³ – 3x² – 4x

binomio:3x⁴ – 5x²

trinomio:3x⁴ + x³ + x²

2. Grados Relativos y Absoluto

En toda expresión algebraica encontraremos grados relativos (están en relación a cada una de las letras de la expresión algebraica) y un grado absoluto (referido a toda la expresión).

a) En un monomio:

a.1) Grado Relativo: Veamos unos ejemplos para comprenderlo mejor:

4a3b2 En este caso tenemos dos letras, entonces tendremos dos grados relativos, uno con respecto a la letra a y otro con respecto a la letra b. En ambos casos el grado relativo no será otra cosa que el exponente que afecta a cada letra. La parte numérica no tiene ninguna importancia.

GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)

GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

x5y3z En este caso debemos recordar que la letra sin exponente llevara un 1: x5y3y1

GR(x) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)

GR(y) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)

GR(z) = 1 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1)

a.2) Grado Absoluto:Trabajaremos en los mismos ejemplos del caso anterior para comprender mejor:

4a3b2 Grado Absoluto de un monomio, no es otra cosa que la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras. En este caso sumaremos el exponente de la letra a con el exponente de la letra b:

GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)


x5y3z Recordamos que el exponente de la letra y es 1: x5y3y1

GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)

b) En un polinomio:

b.1) Grado Relativo: Veamos un ejemplo para ver mejor como se halla el Grado Relativo:

4a3b2 + 5a5b En este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica. Entonces tendremos dos grados relativos.

4a3b2 +5a5b1 Antes de seguir trabajando completo los exponentes que "no se ven"

4a3b2 +5a5b1 Estamos viendo que para el caso de la letra a, tenemos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la letra a al mayor de estos exponentes (en este caso 5)

GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)

4a3b2 +5a5b1 Para la letra b hacemos lo mismo, es decir, comparamos los exponentes que afectan a dicha letra (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como Grado Relativo (en este caso 2).

GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

Nótese que los grados relativos no son necesariamente del mismo término, en el caso que hemos visto uno de los grados relativos salió del primer termino y otro del segundo.

b.2) Grado Absoluto: Sigamos con el mismo ejemplo:

4a3b2 +5a5b Este ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos un solo Grado Absoluto.

4a3b2 +5a5b1 Completo los exponentes que "no se ven" con 1.

4a3b2 +5a5b1 Trabajo independientemente cada termino y sumo los exponentes, en el primer termino tengo los exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.

4a3b2 +5a5b1 Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están los exponentes 5 y 1, mismos que sumados dan 6.

4a3b2 +5a5b1 Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor, en este caso entre el 5 y el 6, me quedare con el 6.

GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm

resumen:

En toda expresion algebraica hay un grado relativo y un grado absoluto:

Monomio:

Grado relativo:Por ejemplo si en un término tenemos dos letras a y b hay un garado relativo para cada letra

5a7b5 : GR(a)= es 7; GR(b)= es 5

Grado absoluto:Por ejemplo si en un término tenemos dos letras a y b, se suman sus exponentes y de esa suma se saca el grado asbsoluto.

5a7b5: GA= es 12

Polinomio:

Grado relativo:Por ejemplo

5b27x3+5b47x8:GR(b)= es 4; GR(x)= es 8

Grado absoluto:Sigamos con el siguiente ejemplo

5b27x3+5b47x8:GA= es 8

3. Polinomios Completos

Nosotros podemos decir que un polinomio es completo con respecto a una letra cuando contiene todos los exponentes consecutivos de una letra, desde el más alto, al más bajo. Por ejemplo, si nos dan el polinomio: 6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5, y nos dicen que evaluemos si este es completo, nosotros debemos observar los exponentes.

Para facilitarnos las cosas hemos completado los exponentes: 6x3 -5x1 +3x5 +x2 -x4 +5x0

Como podemos observar, al termino en el cual la letra x no tenia exponente le hemos colocado el 1 que correspondía.

Cuando encontremos un número solo (como en el ejemplo encontramos el número 5), a este se le llama término independiente y se asume que lleva la misma letra que los demás términos elevado a exponente 0.

Observemos los exponentes, encontramos que el más alto es 5 (en el término +3x5), y estarán también el 4, el 3, el 2, el 1 y el 0. Es decir, entre el 5 y el 0 estarán todos los números consecutivos, entonces nosotros afirmamos que se trata de un polinomio completo.
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm

resumen:Nosotros podemos decir que un polinomio es completo con respecto a una letra cuando contiene todos los exponentes consecutivos de una letra, por ejemplo

6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5= si es polinomio completo

4. Polinomios Ordenados

En el ejemplo anterior hemos visto los exponentes del polinomio están todos los números consecutivos entre el 0 y el 5, pero están en completo desorden.

El polinomio era (luego de completarlo): 6x3 -5x1 +3x5 +x2 -x4 +5x0

Empezaba con exponente 3, luego bajaba a exponente 1, subía a exponente 5, bajaba a exponente 2, subía a exponente 4 y finalmente bajaba a exponente 0.

Veamos ahora el siguiente polinomio: 5a2 +3a3 -a5 +a8

Evidentemente no es un polinomio completo, pero veamos como van sus exponentes. Empieza con exponente 2, luego sube a exponente 3, sube a exponente 5 y finalmente sube a exponente 8. Es decir, los exponentes van subiendo; si esto sucede nosotros decimos que se trata de un polinomio ordenado ascendente.

Lógicamente también puede haber un polinomio ordenado en forma descendente:5x6 +3x5 -2x2 +x, el cual, después de completarlo quedaría: 5x6 +3x5 -2x2 +x1

Nótese que los exponentes van bajando, será entonces un polinomio ordenado descendente.

Existe un tipo muy especial de polinomio que comparte las características de un polinomio completo y de un polinomio ordenado, a este se le conoce como polinomio completo y ordenado. Por ejemplo:x6 +3x5 -2x4 +3x3 -x2 +6x -1, que es lo mismo que decir, x6 +3x5 -2x4 +3x3 -x2 +6x1 -1x0

En este último ejemplo observamos, primero que están todos los exponentes consecutivos del 0 al 6; pero además que estos exponentes están ordenados en forma ascendente ya que siempre van subiendo. Por lo tanto, nosotros decimos que estamos frente a un polinomio completo y ordenado.
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm

resumen:

5. Polinomios Homogéneos

Recordemos que un polinomio esta formado por dos o más términos que se están sumando o restando. Así podemos decir que el siguiente: 3a2b + 5ab2 -3abc, es un polinomio de tres términos: el primero de ellos es 3a2b, el segundo es +5ab2 y el tercero es -3abc.

Ahora voy a sumar los exponentes de cada término:

Primer término: 3a2b1, sumados los exponentes 2 +1 =3

Segundo término: +5a1b2, sumados los exponentes 1 +2 = 3

Tercer término: -9a1b1c1, sumados los exponentes 1 +1 +1 = 3

Observamos que en todos los casos el resultado de la suma de los exponentes de cada término es el mismo (para nuestro ejemplo es 3), entonces nosotros podemos decir que se trata de un polinomio homogéneo.

Ahora, existe también un polinomio que reúne características de un polinomio completo, de un polinomio ordenado y de un polinomio homogéneo. A este se le llama polinomio completo, ordenado y homogéneo.

Por ejemplo:2a4 -3a3b + a2b2 +5ab3 -b4

El polinomio anterior se puede escribir también de la siguiente manera:2a4b0 -3a3b1 + a2b2 +5a1b3 -a0b4

Hemos completado los términos donde no había una de las letras con esta elevada a exponente 0, y hemos colocado el exponente 1 en donde no había exponente.

Veamos primero para la letra a: están todos los exponentes consecutivos del 4 al 0, y además están ordenados. Ahora para la letra b: también están todos los exponentes consecutivos del 0 al 4 y además están ordenados. Podemos afirmar que se trata de un polinomio completo y ordenado.

Evaluemos ahora la suma de los exponentes término por término: para el primer término será 4 +0 =4; para el segundo 3 +1 =4; para el tercero 2 +2 =4; para el cuarto 1 +3 =4; para el quinto y último 0 +4 =4. Vemos que todos los resultados son iguales, podemos afirmar que se trata de un polinomio homogéneo.

Finalmente el polinomio: 2a4 -3a3b + a2b2 +5ab3 -b4, es un polinomio completo, ordenado y homogéneo.
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm

6. Ejercicios

Algebra

ALGEBRA

Integrantes:

Juan Diego Galvéz Talavera 1"B"

Cristhian Alvaez Núñez 1"A"

ALGEBRA

Segunda inestigacion

OPERACIONES CON MONOMIOS

1. Términos Semejantes

"Son monomios semejantes entre sí aquellos en los que aparecen las mismas letras con los mismos exponentes.

Ejemplo

Son monomios semejantes: 2ax4y3 ; -3ax4y3 ; ax4y3 ; 5ax4y3 .
Mientras que por ejemplo no son semejantes a los anteriores: axy3 ; 3a2x4y3 ; 2bx4.
Por tanto " Dos monomios semejantes sólo se pueden diferenciar en el coeficiente".

En la escena del apartado anterior, si no se modifican los valores de la parte superior de la misma, modificando los de la parte inferior se obtienen monomios semejantes. Observar que los monomios semejantes tienen el mismo grado. "

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Polinomios/monomios.htm#monsem

Resumen:

Son aquello que tienen las letras con los mismos xponentes, los monomios semejantes tienen el mismo grado.

2. Suma y Resta de Monomios

Suma:

Para poder sumar o restar monomios estos deberán ser términos semejantes. Veamos el caso siguiente:

Digamos que queremos sumar los monomios: a) 3m2n b) 6m2n

Primero que nada deberemos evaluar si son términos semejantes: vemos primero que m2 esta en ambos monomios, y vemos luego que n1 también esta en ambos monomios, llegando a la conclusión que son términos semejantes y por ende se podrán sumar:

3m2n + 6m2n pero solamente sumaremos la parte numérica

3m2n + 6m2n en este caso sumo 3 + 6 = 9

9m2n será el monomio respuesta (nótese que la parte literal sigue igual)

ejemplo:

1. a)5c4k y b)3c4k= 8c3k

2. a)6d3w y b)3d3w= 9d3w

Resta:

Muy similar será el trabajo en la resta, por ejemplo digamos que queremos restar: 5x4y3 -x4y3.

Evaluaremos primero si son términos semejantes. Observamos que en ambos casos habrá el termino x4 y también el termino y3, por lo tanto serán términos semejantes. Procedemos a la resta:

5x4y3 -1x4y3 ahora restare solamente la parte numérica (colocamos el 1 para verlo más claramente)

5x4y3 -1x4y3 en este caso resto 5 - 1 = 4

4x4y3 será el monomio respuesta

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra2.htm

ejemplo:

9x3b4- 5x3b4= 4x3b4

3. Multiplicación de Monomios

Para multiplicar monomios no será necesario que sean términos semejantes. Podremos multiplicar entre ellos a cualquier monomio. Por ejemplo, se desea multiplicar: a) 5x2y5

b) 2x3y2z

Debemos tratar por separado a la parte numérica y a la parte literal. Primero evaluemos la parte numérica:(5x2y5)(2x3y2z) la parte numérica es algo que ya conocemos y que no cambiara, 5x2 = 10

En la parte literal debemos tomar especial cuidado con las letras que se repiten en los términos pues los exponentes se sumaran. Primero vemos que se repite la letra x, y luego la letra y:(5x2y5)(2x3y2z) primero para la letra x, sumamos los exponentes 2+3 = 5

(5x2y5)(2x3y2z) ahora sumamos los exponentes de la letra y, 5+2 = 7

(5x2y3)(2x3y2z) finalmente la letra z no se repite por lo cual solo la colocare tal como esta

Atención con la respuesta: 10x5y7z


Recordemos siempre que la parte numérica se multiplica y en la parte literal se suman los exponentes de las letras que se repiten.
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra2.htm#multipl

4. División de Monomios

Dos monomios no siempre se pueden dividir. Observarlos siguientes ejemplos:


Ejemplo 6.- a) 4ax4y3 : 2x2y , -----------------------------b) 6x4y : ax3

En el primer caso a) se pueden dividir los coeficientes entre si y las letras del dividendo entre las del divisor, aunque en el divisor no esté la "a". Se obtendría como resultado a) 2ax2y2

En el segundo caso b), al no existir la "a" en el dividendo, no es posible la división.

Quizás se entienda mejor si expresamos la división como una fracción y la "simplificamos", restando los exponentes de las potencias de la misma base:

En el segundo caso b) obviamente no podemos hacer lo mismo al no poder simplificar la "a" del denominador.


"Tampoco pueden dividirse los monomios cuando en el divisor aparece una letra con una potencia mayor que en el dividendo. El resultado no sería un monomio pues quedaría, al restar los exponentes, un exponente negativo (recuérdese que los exponentes de las letras deben ser positivos)".

ejemplo

Si planteamos la división 2ax2 : (-3a3x), el resultado sería - 2/3 a-2 x . El coeficiente -2/3 es perfectamente válido aunque solemos usar coeficientes enteros, pero no así a-2ya que el exponente no es positivo.

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Polinomios/monomios.htm#monsem

5. Potenciación de Monomios

Recordemos siempre que un monomio tiene una parte numérica y otra parte literal. Primero trabajaremos la parte numérica como siempre lo hemos hecho, es decir, aplicando la definición de potencia. Luego trabajaremos con la parte literal, en la cual multiplicaremos el exponente de cada letra por el exponente de la potencia dada.

En el ejemplo: (3x2y)4, se nos pide elevar el monomio 3x2y a potencia 4

Tal como hemos dicho primero haremos la parte numérica: 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

Y ahora pasaremos a la parte literal: (x2y1)4 = x2x4y1x4 = x8y4

Finalmente la respuesta será: 81x8y4

Otro ejemplo, podría ser: (ab2c3d4)5

Recordemos que cuando no vemos la parte literal, en realidad hay un 1 (uno), 15 = 1

En la parte literal tendremos: (a1b2c3d4)5 = a1x5b2x5c3x5d4x5 = a5b10c15d20

Finalmente la respuesta será: a5b10c15d20

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra2.htm#potencia

6. Radicación de Monomios

Al igual que en la potenciación, en el caso de la radicación debemos trabajar por separado la parte numérica y la parte literal. A la parte numérica le sacaremos la raíz correspondiente; y en la parte numérica dividiremos el exponente de cada letra entre el grado del radical (en una raíz cuadrada el grado del radical es dos, en una raíz cúbica el grado del radical es tres, y así sucesivamente).

En el ejemplo, √(16x4y6), se nos pide sacar la raíz cuadrada del monomio 16x4y6

Empezaremos por la parte numérica: √16 = 4

Ahora, en la parte literal: √x4y6 = x4÷2y6÷2 = x2y3 (el grado del radical es 2)

Finalmente la respuesta será: 4x2y3

El ejemplo, ³√(27a9b3), nos pide sacar la raíz cúbica del monomio 27a9b3

Empezaremos por la parte numérica: ³√27 = 3

Ahora, en la parte literal: ³√a9b3 = a9÷3y3÷3 = x3y1 (el grado del radical es 3)

Finalmente la respuesta será: 3a3b

Tercera investigación

OPERACIONES CON POLINOMIOS

1. Términos Semejantes

Antes de pasar a evaluar las diferentes operaciones con polinomios, conviene revisar nuevamente los términos semejantes.


Observemos la siguiente pareja de expresiones algebraicas: a) 4x2y3 b) 2x2y3

Vemos que en ambas expresiones se repite la parte literal, en ambos monomios hay x2, así mismo, en ambos monomios hay y3.


Cuando la parte literal en dos términos sea igual, entonces estaremos hablando de términos semejantes.

No importara el orden de las letras en la parte literal, así, los monomios: 6a3b2c , cb2a3 , también representan términos semejantes pues en ambos encontramos a3, b2 y c1.

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm


2. Suma y Resta de Polinomios

En un polinomio podremos sumar o restar solamente los términos semejantes, todo lo demás quedara exactamente igual.
Digamos que queremos sumar los polinomios siguientes:P1: 5x2y +3xy2P2: 3x3 -2x2y +xy2 -4y3


Entonces la suma será:P1 + P2: 5x2y +3xy2 +3x3 -2x2y +1xy2 -4y3(como se puede ver he añadido el numero 1 en el término que no lo tenia para facilitar la operación)


Ahora debemos ver si hay términos semejantes:P1 + P2: 5x2y +3xy2 +3x3 -2x2y +1xy2 -4y3(hemos marcado con rojo los términos que tienen x2y, hemos marcado con azul los términos con xy2)
Operamos los términos con x2y: 5x2y -2x2y = 3x2yOperamos los términos con xy2: 3xy2 +1xy2 = 4xy2
Introducimos los resultados parciales en nuestro polinomio respuesta:P1 + P2: 3x2y +4xy2 +3x3 -4y3 (esta es la respuesta)
Para realizar una resta, el procedimiento es similar, pero debemos tener mucho cuidado con los signos. Digamos que ahora quiero restar P1 -P2:P1 - P2: 5x2y +3xy2 -(3x3 -2x2y +1xy2 -4y3) Nótese que P2 lo he puesto entre paréntesisP1 - P2: 5x2y +3xy2 -3x3 +2x2y -1xy2 +4y3 Ahora vemos como hemos cambiado el signo a todo P2
Ahora recién buscamos los términos semejantes y realizamos las operaciones:P1 - P2: 5x2y +3xy2 -3x3 +2x2y -1xy2 +4y3P1 - P2: 7x2y +2xy2 +3x3 -4y3 (esta es la respuesta)

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#masmenos

Resumen:

solo se puede sumar o restar los terminos semejantes, el resto queda igual.

Ejemplos:

1. P1: 5x2y + P2: 6x9y=11x11y

2. P1: 11y5m + P2: 9y11m=20y16m

3. Multiplicación de Polinomios

En la multiplicación de polinomios tendremos que multiplicar todos los términos entre ellos. Evaluemos el siguiente ejemplo en el cual queremos multiplicar P1xP2:P1: 5x2y +3xy2P2: 3x3 -2x2y +xy2 -4y3


Entonces:P1xP2: (5x2y +3xy2)(3x3 -2x2y +xy2 -4y3)P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)

He colocado con rojo el numero 1 donde puede necesitarse.
Ahora tendré que multiplicar el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio:P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)(5x2y1)(3x3) = 15x5y1 (el exponente 1 esta con rojo ya que sabemos que no es necesario ponerlo)(5x2y1)(-2x2y1) = -10x4y2(5x2y1)(+1x1y2) = 5x3y3(5x2y1)(-4y3) = -20x2y4


Hacemos lo mismo con el segundo término del primer polinomio:P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)(+3x1y2)(3x3) = +9x4y2(+3x1y2)(-2x2y1) = -6x3y3(+3x1y2)(+1x1y2) = +3x2y4(+3x1y2)(-4y3) = -12x1y5 (el exponente 1 esta con rojo ya que sabemos que no es necesario ponerlo)


Ahora acomodamos la respuesta:P1xP2: 15x5y1 -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12x1y5P1xP2: 15x5y -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5 (eliminamos los 1 innecesarios)


Ahora vemos si hay términos semejantes que podamos sumar o restar:P1xP2: 15x5y -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5


Tenemos que simplificar los términos semejantes:Operamos los términos con x4y2: -10x4y2 +9x4y2 = -1x4y2Operamos los términos con x3y3: +5x3y3 -6x3y3 = -1x3y3Operamos los términos con x2y4: -20x2y4 +3x2y4 = -17x2y4


Ahora si, presentamos la respuesta:P1xP2: 15x5y -1x4y2 -1x3y3 -17x2y4 -12xy5
Recordemos siempre que la parte numérica se multiplica y en la parte literal se suman los exponentes de las letras que se repiten.

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra2.htm

Resumen:

En la multiplicacion de polinomios debemos multiplicar todos los terminos entre ellos.

Ejemplos:

1. P1: (5m4u) P2: (6m4u)= 30m16u.

2. P2: (6t5n) P2: (3t5n)= 18t25n.

4. Potenciación de Polinomios

La potenciación de polinomios se apoya en el concepto fundamental de potencia, mismo que se define:bn = b x b x b x b x................... x bLo cual quiere decir que multiplicare una base (b) por si misma una cantidad n de veces (n es el exponente).


Entonces para resolver el siguiente ejemplo: (3a3b + 5b3)2Tendré que efectuar la siguiente multiplicación: (3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3)Ya que el exponente 2 me indica que lo debo multiplicar por si mismo dos veces.


Finalmente tendremos:(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +15a3b4 +15a3b4 +25b6(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +15a3b4 +15a3b4 +25b6(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +30a3b4 +25b6

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#multipl

Resumen:

La potenciacion de polinomios es como la potenciacion en cualquier numero.

Ejemplos:

1. (4n5m+8n7m) 2= (4n5m + 8n7m)(4n5m + 8n7m)=(16n25m + 64n49m)=80n114m

5. Productos Notables

Existen algunas respuestas características para algunos casos en los que debemos multiplicar, estos son los productos notables. Los principales son:

a) Cuadrado de la suma de dos cantidades:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

Por ejemplo: (5x +7)2 = (5x)2 + 2(5x)(7) + (7)2

El cuadrado del primer término es: (5x1)2 = 25x2

El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70x

El cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49

Finalmente la respuesta será: (5x +7)2 = 25x2 + 70x + 49

b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

Por ejemplo: (5x -7)2 = (5x)2 - 2(5x)(7) + (7)2

El cuadrado del primer término es: (5x1)2 = 25x2

El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70x

El cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49

Finalmente la respuesta será: (5x -7)2 = 25x2 - 70x + 49

c) Diferencia de Cuadrados:

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.


Por ejemplo: (4a +7y3)(4a -7y3) = (4a)2 - (7y3)2El cuadrado del primer término es: (4a1)2 = 16a2El cuadrado del segundo término es: (7y3)2 = 49y6


Finalmente la respuesta será: (4a +7y3)(4a -7y3) = 16a2 - 49y6

d) Cubo de la suma de dos cantidades:

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

Por ejemplo: (2a + 4b)3 = (2a)3 +3(2a)2(4b) +3(2a)(4b)2 + (4b)3

El cubo del primer término es: (2a1)3 = 8a3

El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(2a1)2(4b) = 48a2b

El triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(2a)(4b1)2 = 96ab2

El cubo del segundo término es: (4b1)3 = 64b3

Finalmente la respuesta será: (2a + 4b)3 = 8a3 + 48a2b + 96ab2 + 64b3

e) Cubo de la diferencia de dos cantidades:

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.

Por ejemplo: (4a - 2b)3 = (4a)3 -3(4a)2(2b) +3(4a)(2b)2 - (2b)3

El cubo del primer término es: (4a1)3 = 64a3

El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(4a1)2(2b) = 96a2b

El triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(4a)(2b1)2 = 48ab2

El cubo del segundo término es: (2b1)3 = 8b3

Finalmente la respuesta será: (4a - 2b)3 = 64a3 - 96a2b + 48ab2 - 8b3

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#multipl