ALGEBRA
Integrantes:
Juan Diego Galvéz Talavera 1"B"
Cristhian Alvaez Núñez 1"A"
ALGEBRA
Segunda inestigacion
OPERACIONES CON MONOMIOS
1. Términos Semejantes
"Son monomios semejantes entre sí aquellos en los que aparecen las mismas letras con los mismos exponentes.
Ejemplo
Son monomios semejantes: 2ax4y3 ; -3ax4y3 ; ax4y3 ; 5ax4y3 .
Mientras que por ejemplo no son semejantes a los anteriores: axy3 ; 3a2x4y3 ; 2bx4.
Por tanto " Dos monomios semejantes sólo se pueden diferenciar en el coeficiente".
Mientras que por ejemplo no son semejantes a los anteriores: axy3 ; 3a2x4y3 ; 2bx4.
Por tanto " Dos monomios semejantes sólo se pueden diferenciar en el coeficiente".
En la escena del apartado anterior, si no se modifican los valores de la parte superior de la misma, modificando los de la parte inferior se obtienen monomios semejantes. Observar que los monomios semejantes tienen el mismo grado. "
Resumen:
Son aquello que tienen las letras con los mismos xponentes, los monomios semejantes tienen el mismo grado.
2. Suma y Resta de Monomios
Suma:
Para poder sumar o restar monomios estos deberán ser términos semejantes. Veamos el caso siguiente:
Digamos que queremos sumar los monomios: a) 3m2n b) 6m2n
Primero que nada deberemos evaluar si son términos semejantes: vemos primero que m2 esta en ambos monomios, y vemos luego que n1 también esta en ambos monomios, llegando a la conclusión que son términos semejantes y por ende se podrán sumar:
3m2n + 6m2n pero solamente sumaremos la parte numérica
3m2n + 6m2n en este caso sumo 3 + 6 = 9
9m2n será el monomio respuesta (nótese que la parte literal sigue igual)
ejemplo:
1. a)5c4k y b)3c4k= 8c3k
2. a)6d3w y b)3d3w= 9d3w
Resta:
Muy similar será el trabajo en la resta, por ejemplo digamos que queremos restar: 5x4y3 -x4y3.
Evaluaremos primero si son términos semejantes. Observamos que en ambos casos habrá el termino x4 y también el termino y3, por lo tanto serán términos semejantes. Procedemos a la resta:
5x4y3 -1x4y3 ahora restare solamente la parte numérica (colocamos el 1 para verlo más claramente)
5x4y3 -1x4y3 en este caso resto 5 - 1 = 4
4x4y3 será el monomio respuesta
ejemplo:
9x3b4- 5x3b4= 4x3b4
3. Multiplicación de Monomios
Para multiplicar monomios no será necesario que sean términos semejantes. Podremos multiplicar entre ellos a cualquier monomio. Por ejemplo, se desea multiplicar: a) 5x2y5
b) 2x3y2z
Debemos tratar por separado a la parte numérica y a la parte literal. Primero evaluemos la parte numérica:(5x2y5)(2x3y2z) la parte numérica es algo que ya conocemos y que no cambiara, 5x2 = 10
En la parte literal debemos tomar especial cuidado con las letras que se repiten en los términos pues los exponentes se sumaran. Primero vemos que se repite la letra x, y luego la letra y:(5x2y5)(2x3y2z) primero para la letra x, sumamos los exponentes 2+3 = 5
(5x2y5)(2x3y2z) ahora sumamos los exponentes de la letra y, 5+2 = 7
(5x2y3)(2x3y2z) finalmente la letra z no se repite por lo cual solo la colocare tal como esta
Atención con la respuesta: 10x5y7z
Recordemos siempre que la parte numérica se multiplica y en la parte literal se suman los exponentes de las letras que se repiten.
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra2.htm#multipl
Recordemos siempre que la parte numérica se multiplica y en la parte literal se suman los exponentes de las letras que se repiten.
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra2.htm#multipl
4. División de Monomios
Dos monomios no siempre se pueden dividir. Observarlos siguientes ejemplos:
Ejemplo 6.- a) 4ax4y3 : 2x2y , -----------------------------b) 6x4y : ax3
Ejemplo 6.- a) 4ax4y3 : 2x2y , -----------------------------b) 6x4y : ax3
En el primer caso a) se pueden dividir los coeficientes entre si y las letras del dividendo entre las del divisor, aunque en el divisor no esté la "a". Se obtendría como resultado a) 2ax2y2
En el segundo caso b), al no existir la "a" en el dividendo, no es posible la división.
Quizás se entienda mejor si expresamos la división como una fracción y la "simplificamos", restando los exponentes de las potencias de la misma base:
En el segundo caso b) obviamente no podemos hacer lo mismo al no poder simplificar la "a" del denominador.
"Tampoco pueden dividirse los monomios cuando en el divisor aparece una letra con una potencia mayor que en el dividendo. El resultado no sería un monomio pues quedaría, al restar los exponentes, un exponente negativo (recuérdese que los exponentes de las letras deben ser positivos)".
ejemplo
Si planteamos la división 2ax2 : (-3a3x), el resultado sería - 2/3 a-2 x . El coeficiente -2/3 es perfectamente válido aunque solemos usar coeficientes enteros, pero no así a-2ya que el exponente no es positivo.
http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Polinomios/monomios.htm#monsem
5. Potenciación de Monomios
Recordemos siempre que un monomio tiene una parte numérica y otra parte literal. Primero trabajaremos la parte numérica como siempre lo hemos hecho, es decir, aplicando la definición de potencia. Luego trabajaremos con la parte literal, en la cual multiplicaremos el exponente de cada letra por el exponente de la potencia dada.
En el ejemplo: (3x2y)4, se nos pide elevar el monomio 3x2y a potencia 4
Tal como hemos dicho primero haremos la parte numérica: 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
Y ahora pasaremos a la parte literal: (x2y1)4 = x2x4y1x4 = x8y4
Finalmente la respuesta será: 81x8y4
Otro ejemplo, podría ser: (ab2c3d4)5
Recordemos que cuando no vemos la parte literal, en realidad hay un 1 (uno), 15 = 1
En la parte literal tendremos: (a1b2c3d4)5 = a1x5b2x5c3x5d4x5 = a5b10c15d20
Finalmente la respuesta será: a5b10c15d20
6. Radicación de Monomios
Al igual que en la potenciación, en el caso de la radicación debemos trabajar por separado la parte numérica y la parte literal. A la parte numérica le sacaremos la raíz correspondiente; y en la parte numérica dividiremos el exponente de cada letra entre el grado del radical (en una raíz cuadrada el grado del radical es dos, en una raíz cúbica el grado del radical es tres, y así sucesivamente).
En el ejemplo, √(16x4y6), se nos pide sacar la raíz cuadrada del monomio 16x4y6
Empezaremos por la parte numérica: √16 = 4
Ahora, en la parte literal: √x4y6 = x4÷2y6÷2 = x2y3 (el grado del radical es 2)
Finalmente la respuesta será: 4x2y3
El ejemplo, ³√(27a9b3), nos pide sacar la raíz cúbica del monomio 27a9b3
Empezaremos por la parte numérica: ³√27 = 3
Ahora, en la parte literal: ³√a9b3 = a9÷3y3÷3 = x3y1 (el grado del radical es 3)
Finalmente la respuesta será: 3a3b
Tercera investigación
OPERACIONES CON POLINOMIOS
1. Términos Semejantes
Antes de pasar a evaluar las diferentes operaciones con polinomios, conviene revisar nuevamente los términos semejantes.
Observemos la siguiente pareja de expresiones algebraicas: a) 4x2y3 b) 2x2y3
Observemos la siguiente pareja de expresiones algebraicas: a) 4x2y3 b) 2x2y3
Vemos que en ambas expresiones se repite la parte literal, en ambos monomios hay x2, así mismo, en ambos monomios hay y3.
Cuando la parte literal en dos términos sea igual, entonces estaremos hablando de términos semejantes.
Cuando la parte literal en dos términos sea igual, entonces estaremos hablando de términos semejantes.
No importara el orden de las letras en la parte literal, así, los monomios: 6a3b2c , cb2a3 , también representan términos semejantes pues en ambos encontramos a3, b2 y c1.
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm
2. Suma y Resta de Polinomios
2. Suma y Resta de Polinomios
En un polinomio podremos sumar o restar solamente los términos semejantes, todo lo demás quedara exactamente igual.
Digamos que queremos sumar los polinomios siguientes:P1: 5x2y +3xy2P2: 3x3 -2x2y +xy2 -4y3
Entonces la suma será:P1 + P2: 5x2y +3xy2 +3x3 -2x2y +1xy2 -4y3(como se puede ver he añadido el numero 1 en el término que no lo tenia para facilitar la operación)
Ahora debemos ver si hay términos semejantes:P1 + P2: 5x2y +3xy2 +3x3 -2x2y +1xy2 -4y3(hemos marcado con rojo los términos que tienen x2y, hemos marcado con azul los términos con xy2)
Operamos los términos con x2y: 5x2y -2x2y = 3x2yOperamos los términos con xy2: 3xy2 +1xy2 = 4xy2
Introducimos los resultados parciales en nuestro polinomio respuesta:P1 + P2: 3x2y +4xy2 +3x3 -4y3 (esta es la respuesta)
Para realizar una resta, el procedimiento es similar, pero debemos tener mucho cuidado con los signos. Digamos que ahora quiero restar P1 -P2:P1 - P2: 5x2y +3xy2 -(3x3 -2x2y +1xy2 -4y3) Nótese que P2 lo he puesto entre paréntesisP1 - P2: 5x2y +3xy2 -3x3 +2x2y -1xy2 +4y3 Ahora vemos como hemos cambiado el signo a todo P2
Ahora recién buscamos los términos semejantes y realizamos las operaciones:P1 - P2: 5x2y +3xy2 -3x3 +2x2y -1xy2 +4y3P1 - P2: 7x2y +2xy2 +3x3 -4y3 (esta es la respuesta)
Digamos que queremos sumar los polinomios siguientes:P1: 5x2y +3xy2P2: 3x3 -2x2y +xy2 -4y3
Entonces la suma será:P1 + P2: 5x2y +3xy2 +3x3 -2x2y +1xy2 -4y3(como se puede ver he añadido el numero 1 en el término que no lo tenia para facilitar la operación)
Ahora debemos ver si hay términos semejantes:P1 + P2: 5x2y +3xy2 +3x3 -2x2y +1xy2 -4y3(hemos marcado con rojo los términos que tienen x2y, hemos marcado con azul los términos con xy2)
Operamos los términos con x2y: 5x2y -2x2y = 3x2yOperamos los términos con xy2: 3xy2 +1xy2 = 4xy2
Introducimos los resultados parciales en nuestro polinomio respuesta:P1 + P2: 3x2y +4xy2 +3x3 -4y3 (esta es la respuesta)
Para realizar una resta, el procedimiento es similar, pero debemos tener mucho cuidado con los signos. Digamos que ahora quiero restar P1 -P2:P1 - P2: 5x2y +3xy2 -(3x3 -2x2y +1xy2 -4y3) Nótese que P2 lo he puesto entre paréntesisP1 - P2: 5x2y +3xy2 -3x3 +2x2y -1xy2 +4y3 Ahora vemos como hemos cambiado el signo a todo P2
Ahora recién buscamos los términos semejantes y realizamos las operaciones:P1 - P2: 5x2y +3xy2 -3x3 +2x2y -1xy2 +4y3P1 - P2: 7x2y +2xy2 +3x3 -4y3 (esta es la respuesta)
Resumen:
solo se puede sumar o restar los terminos semejantes, el resto queda igual.
Ejemplos:
1. P1: 5x2y + P2: 6x9y=11x11y
2. P1: 11y5m + P2: 9y11m=20y16m
3. Multiplicación de Polinomios
En la multiplicación de polinomios tendremos que multiplicar todos los términos entre ellos. Evaluemos el siguiente ejemplo en el cual queremos multiplicar P1xP2:P1: 5x2y +3xy2P2: 3x3 -2x2y +xy2 -4y3
Entonces:P1xP2: (5x2y +3xy2)(3x3 -2x2y +xy2 -4y3)P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)
He colocado con rojo el numero 1 donde puede necesitarse.
Ahora tendré que multiplicar el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio:P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)(5x2y1)(3x3) = 15x5y1 (el exponente 1 esta con rojo ya que sabemos que no es necesario ponerlo)(5x2y1)(-2x2y1) = -10x4y2(5x2y1)(+1x1y2) = 5x3y3(5x2y1)(-4y3) = -20x2y4
Hacemos lo mismo con el segundo término del primer polinomio:P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)(+3x1y2)(3x3) = +9x4y2(+3x1y2)(-2x2y1) = -6x3y3(+3x1y2)(+1x1y2) = +3x2y4(+3x1y2)(-4y3) = -12x1y5 (el exponente 1 esta con rojo ya que sabemos que no es necesario ponerlo)
Ahora acomodamos la respuesta:P1xP2: 15x5y1 -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12x1y5P1xP2: 15x5y -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5 (eliminamos los 1 innecesarios)
Ahora vemos si hay términos semejantes que podamos sumar o restar:P1xP2: 15x5y -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5
Tenemos que simplificar los términos semejantes:Operamos los términos con x4y2: -10x4y2 +9x4y2 = -1x4y2Operamos los términos con x3y3: +5x3y3 -6x3y3 = -1x3y3Operamos los términos con x2y4: -20x2y4 +3x2y4 = -17x2y4
Ahora si, presentamos la respuesta:P1xP2: 15x5y -1x4y2 -1x3y3 -17x2y4 -12xy5
Recordemos siempre que la parte numérica se multiplica y en la parte literal se suman los exponentes de las letras que se repiten.
Entonces:P1xP2: (5x2y +3xy2)(3x3 -2x2y +xy2 -4y3)P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)
He colocado con rojo el numero 1 donde puede necesitarse.
Ahora tendré que multiplicar el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio:P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)(5x2y1)(3x3) = 15x5y1 (el exponente 1 esta con rojo ya que sabemos que no es necesario ponerlo)(5x2y1)(-2x2y1) = -10x4y2(5x2y1)(+1x1y2) = 5x3y3(5x2y1)(-4y3) = -20x2y4
Hacemos lo mismo con el segundo término del primer polinomio:P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)(+3x1y2)(3x3) = +9x4y2(+3x1y2)(-2x2y1) = -6x3y3(+3x1y2)(+1x1y2) = +3x2y4(+3x1y2)(-4y3) = -12x1y5 (el exponente 1 esta con rojo ya que sabemos que no es necesario ponerlo)
Ahora acomodamos la respuesta:P1xP2: 15x5y1 -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12x1y5P1xP2: 15x5y -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5 (eliminamos los 1 innecesarios)
Ahora vemos si hay términos semejantes que podamos sumar o restar:P1xP2: 15x5y -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5
Tenemos que simplificar los términos semejantes:Operamos los términos con x4y2: -10x4y2 +9x4y2 = -1x4y2Operamos los términos con x3y3: +5x3y3 -6x3y3 = -1x3y3Operamos los términos con x2y4: -20x2y4 +3x2y4 = -17x2y4
Ahora si, presentamos la respuesta:P1xP2: 15x5y -1x4y2 -1x3y3 -17x2y4 -12xy5
Recordemos siempre que la parte numérica se multiplica y en la parte literal se suman los exponentes de las letras que se repiten.
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra2.htm
Resumen:
En la multiplicacion de polinomios debemos multiplicar todos los terminos entre ellos.
Ejemplos:
1. P1: (5m4u) P2: (6m4u)= 30m16u.
2. P2: (6t5n) P2: (3t5n)= 18t25n.
4. Potenciación de Polinomios
La potenciación de polinomios se apoya en el concepto fundamental de potencia, mismo que se define:bn = b x b x b x b x................... x bLo cual quiere decir que multiplicare una base (b) por si misma una cantidad n de veces (n es el exponente).
Entonces para resolver el siguiente ejemplo: (3a3b + 5b3)2Tendré que efectuar la siguiente multiplicación: (3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3)Ya que el exponente 2 me indica que lo debo multiplicar por si mismo dos veces.
Finalmente tendremos:(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +15a3b4 +15a3b4 +25b6(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +15a3b4 +15a3b4 +25b6(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +30a3b4 +25b6
Entonces para resolver el siguiente ejemplo: (3a3b + 5b3)2Tendré que efectuar la siguiente multiplicación: (3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3)Ya que el exponente 2 me indica que lo debo multiplicar por si mismo dos veces.
Finalmente tendremos:(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +15a3b4 +15a3b4 +25b6(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +15a3b4 +15a3b4 +25b6(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +30a3b4 +25b6
Resumen:
La potenciacion de polinomios es como la potenciacion en cualquier numero.
Ejemplos:
1. (4n5m+8n7m) 2= (4n5m + 8n7m)(4n5m + 8n7m)=(16n25m + 64n49m)=80n114m
5. Productos Notables
Existen algunas respuestas características para algunos casos en los que debemos multiplicar, estos son los productos notables. Los principales son:
a) Cuadrado de la suma de dos cantidades:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
Por ejemplo: (5x +7)2 = (5x)2 + 2(5x)(7) + (7)2
El cuadrado del primer término es: (5x1)2 = 25x2
El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70x
El cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49
Finalmente la respuesta será: (5x +7)2 = 25x2 + 70x + 49
b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
Por ejemplo: (5x -7)2 = (5x)2 - 2(5x)(7) + (7)2
El cuadrado del primer término es: (5x1)2 = 25x2
El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70x
El cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49
Finalmente la respuesta será: (5x -7)2 = 25x2 - 70x + 49
c) Diferencia de Cuadrados:
La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.
Por ejemplo: (4a +7y3)(4a -7y3) = (4a)2 - (7y3)2El cuadrado del primer término es: (4a1)2 = 16a2El cuadrado del segundo término es: (7y3)2 = 49y6
Finalmente la respuesta será: (4a +7y3)(4a -7y3) = 16a2 - 49y6
Por ejemplo: (4a +7y3)(4a -7y3) = (4a)2 - (7y3)2El cuadrado del primer término es: (4a1)2 = 16a2El cuadrado del segundo término es: (7y3)2 = 49y6
Finalmente la respuesta será: (4a +7y3)(4a -7y3) = 16a2 - 49y6
d) Cubo de la suma de dos cantidades:
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.
Por ejemplo: (2a + 4b)3 = (2a)3 +3(2a)2(4b) +3(2a)(4b)2 + (4b)3
El cubo del primer término es: (2a1)3 = 8a3
El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(2a1)2(4b) = 48a2b
El triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(2a)(4b1)2 = 96ab2
El cubo del segundo término es: (4b1)3 = 64b3
Finalmente la respuesta será: (2a + 4b)3 = 8a3 + 48a2b + 96ab2 + 64b3
e) Cubo de la diferencia de dos cantidades:
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.
Por ejemplo: (4a - 2b)3 = (4a)3 -3(4a)2(2b) +3(4a)(2b)2 - (2b)3
El cubo del primer término es: (4a1)3 = 64a3
El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(4a1)2(2b) = 96a2b
El triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(4a)(2b1)2 = 48ab2
El cubo del segundo término es: (2b1)3 = 8b3
Finalmente la respuesta será: (4a - 2b)3 = 64a3 - 96a2b + 48ab2 - 8b3
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